一、基本概念

1.約數(shù)、倍數(shù)：

如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。

2.公約數(shù)、公倍數(shù)：

若一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，則稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。若一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，則稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。

3.最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)：

若干個數(shù)的公約數(shù)中最大的一個就稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。若干個數(shù)的公倍數(shù)中最小的一個就稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。

二、解題方法

(一)求最大公約數(shù)的常用方法

1.短除法

最大公約數(shù)=2×3=6

2.分解質(zhì)因數(shù)法：

先分解質(zhì)因數(shù)，再將相同的質(zhì)因數(shù)取冪指數(shù)最小值連乘到一起

例：162和234的最大公約數(shù)為?

A.8 B.12 C.18 D.24

【答案】C

利用分解質(zhì)因數(shù)的方法：所以162和234的最大公約數(shù)選擇C項。

求最小公倍數(shù)的常用方法

1.短除法：

注：多個數(shù)短除，要除到兩兩沒有公約數(shù)為止

2.分解質(zhì)因數(shù)法：

先把這幾個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再將所有的質(zhì)因數(shù)取冪指數(shù)最大值連乘到一起，得到的就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

例：某三組小朋友參加趣味運動會，需要分發(fā)一千多個比賽用的小球，如果只分給A組，則A組每名小朋友可以得到25塊糖;如果只分給B組，則B組每名小朋友可以得到35塊糖;如果只分給C組，則C組每名小朋友可以得到42塊糖。那么最少再添幾個球，能使得小球平均分給三組小朋友?

A.13 B.15 C.17 D.19 【答案】C

根據(jù)題意，糖塊總數(shù)為25、35、42的公倍數(shù)，能滿足條件的球數(shù)只有1050個，則三組小朋友人數(shù)分別得到42人、30人、25人，共97人，1050÷97=10…80，所以還需要至少17個球，選擇C項。

三、常見應(yīng)用題型

(一)周期問題

例：小陳和小李本周四于健身房相遇，已知小陳每三天去一次，小李每四天去一次，那么他們下次相遇是周幾?

周一 B.周二 C.周四 D.周五

【答案】

小陳每三天去一次，小李每四天去一次，周四相遇到下次相遇經(jīng)過的天數(shù)需要既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)，問題為下次相遇，也就是最短相遇天數(shù)，即3和4的最小公倍數(shù)12，12÷7=1…5，所以下次相遇為周二，選擇B項。

(二)利用最大公約數(shù)求公約數(shù)的個數(shù)

例：張三有36本書，李四有48本書，現(xiàn)準(zhǔn)備捐給希望工程，并平均分給幾位小朋友，有多少種不同的分法?

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】C

根據(jù)題意，所求為36和48的公約數(shù)的個數(shù)，兩者的最大公約數(shù)為6，6的約數(shù)為1、2、3、6，共四個，所以共有4種不同的分法。選擇C項。

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