英國著名的物理學(xué)家牛頓曾編過這樣一道題目：草原上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果期間一直有草生長。如果供給25頭牛吃，可以吃多少天?這種類型的題目就叫做牛吃草問題，亦叫做消長問題。

牛吃草問題在數(shù)量關(guān)系中考察的概率較小，但是這種題型相對(duì)簡單，如果出現(xiàn)牛吃草問題，也是一道必做題。下面，我們來解釋一下牛吃草的原理以及公式：

首先，牛吃草問題的前提是草生長速度和每頭牛每天消耗的草料是不變的，我們?cè)O(shè)草的生長速度為X、每天每頭牛吃“1”份草，那么N頭牛，每天的消耗量為“N”份;其次，原有的草料為Y，假定經(jīng)過時(shí)間T，草原上的草料消耗完畢，則在時(shí)間T內(nèi)牛吃的草料為N×T，N頭牛吃的草料等于原有草料與時(shí)間T內(nèi)草生長的量，即Y+XT，所以我們得到等量關(guān)系：NT=Y+XT，化簡得：

Y=(N-X)T(牛吃草公式)

其中：Y：原有草料

N：牛的頭數(shù)

X：草的生長速度

T：時(shí)間

典型的牛吃草問題：漏船排水、窗口售票等

我們通過幾道例題了解一下牛吃草問題如果求解：

【例1】(單選題) 某演唱會(huì)檢票前若干分鐘就有觀眾開始排隊(duì)等候入場(chǎng)，而每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候隊(duì)伍消失，若同時(shí)開4個(gè)入場(chǎng)口需50分鐘，若同時(shí)開6個(gè)入場(chǎng)口則需30分鐘。問如果同時(shí)開7個(gè)入場(chǎng)口需幾分鐘?

A. 18分鐘

B. 20分鐘

C. 22分鐘

D. 25分鐘

解析

第一步，本題考查牛吃草問題。

第二步，設(shè)檢票口原有觀眾y人，每分鐘到達(dá)觀眾x人，每個(gè)檢票口每分鐘可檢1人，根據(jù)牛吃草公式可得：y=(4-x)×50，y=(6-x)×30，解得x=1，y=150。

第三步，設(shè)同時(shí)開7個(gè)入場(chǎng)口需T分鐘檢完，則150=(7-1)×T，解得T=25分鐘。

因此，選擇D選項(xiàng)。

【例2】(單選題) 某河段中的沉積河沙可供80人連續(xù)開采6個(gè)月或60人連續(xù)開采10個(gè)月。如果要保證該河段河沙不被開采枯竭，問最多可供多少人進(jìn)行連續(xù)不間斷的開采?(假定該河段河沙沉積的速度相對(duì)穩(wěn)定)

A. 25

B. 30

C. 35

D. 40

解析

第一步，本題考查牛吃草問題，用公式法解題。

第二步，設(shè)原有河沙量為y，每月沉積河沙量為x，根據(jù)80人連續(xù)開采6個(gè)月，可得y=(80-x)×6，根據(jù)60人連續(xù)開采10個(gè)月，可得y=(60-x)×10，解得x=30，y=300。

第三步，若要不被開采枯竭，每月開采量=每月沉積量，故最多可供30人進(jìn)行連續(xù)不間斷的開采。

因此，選擇B選項(xiàng)。

【例3】(單選題) 有甲乙兩個(gè)水池，其中甲水池中一直有水注入，如果分別安排8臺(tái)抽水機(jī)去抽空甲和乙水池，則分別需要16小時(shí)和4小時(shí),如給甲水池加5臺(tái)，則可以提前10小時(shí)抽空。若共安排20臺(tái)抽水機(jī)，則為了保證兩個(gè)水池能同時(shí)抽空，在甲水池工作的抽水機(jī)應(yīng)該比乙水池多多少臺(tái)?

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

解析

第一步，本題考查牛吃草問題。

第二步，設(shè)甲水池容量為y，甲水池注入的水速為x，賦值每臺(tái)抽水機(jī)的效率為1。根據(jù)抽空甲水池需要16小時(shí)，加了5臺(tái)后可提前10小時(shí)抽空，可得y=(8-x)×16、y=(8+5-x)×(16-10)，解得x=5、y=48。又因?yàn)?臺(tái)抽水機(jī)抽空乙需要4小時(shí)，則乙的容量為8×4=32。

第三步，設(shè)甲水池安排a臺(tái)抽水機(jī)，則乙水池為(20-a)臺(tái)抽水機(jī)，根據(jù)題意兩個(gè)水池同時(shí)抽空可得，解得a=14，則乙水池安排抽水機(jī)為20-14=6(臺(tái))，故甲水池比乙水池多14-6=8(臺(tái))。

因此，選擇C選項(xiàng)。

總結(jié)：

牛吃草公式：Y=(N-X)T

Y：原有草料

N：牛的頭數(shù)

X：草的生長速度

T：時(shí)間

常用方法：方程法

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