在公務(wù)員考試的數(shù)量關(guān)系板塊，容斥問(wèn)題往往作為一個(gè)高頻考點(diǎn)出現(xiàn)，而容斥問(wèn)題往往有兩種考察形式：二集合容斥問(wèn)題和三集合容斥問(wèn)題。今天我們主要談?wù)劧�集合容斥�?wèn)題的解題技巧。

二集合容斥問(wèn)題往往是題干內(nèi)容比較長(zhǎng)且比較復(fù)雜，涉及到多個(gè)主體之間的關(guān)系，總是讓很多考生頭疼難堪，但是如果掌握到技巧，這類題目往往可以快速“秒殺”，今天就帶大家學(xué)習(xí)兩集合容斥的解題方法。

首先需要識(shí)別一下二集合容斥的題型特征。咱們先來(lái)看幾道例題：

【例1】(2017江西)某鄉(xiāng)有32戶果農(nóng)，其中有26戶種了柚子樹(shù)，有24戶種了橘子樹(shù)，還有5戶既沒(méi)有種柚子樹(shù)也沒(méi)有種橘子樹(shù)，那么該鄉(xiāng)同時(shí)種植柚子樹(shù)和橘子樹(shù)的果農(nóng)有：

【例2】(2018廣州)籃子里有蘋(píng)果和梨子兩種水果若干個(gè)，將這些水果分發(fā)給13人，每人最少拿一個(gè)，最多拿兩個(gè)不同的水果。已知有9個(gè)人拿到了蘋(píng)果，有8人拿到了梨，最后全部分完。那么，有( )人只拿到了蘋(píng)果。

【例3】(2014浙江)某委員會(huì)有成員465人，對(duì)2個(gè)提案進(jìn)行表決，要求必須對(duì)2個(gè)提案分別提出贊成或反對(duì)意見(jiàn)。其中贊成第一個(gè)提案的有364人，贊成第二個(gè)提案的有392人，兩個(gè)提案都反對(duì)的有17人。問(wèn)贊成第一個(gè)提案且反對(duì)第二個(gè)提案的有幾人?

上述的幾道題，都是屬于二集合容斥的題目，我們不難發(fā)現(xiàn)，這一類題目都具備一個(gè)共性，涉及兩個(gè)主體(或集合)，討論的也是兩個(gè)主體(或集合)相互之間的包含關(guān)系，這就是二集合容斥問(wèn)題的題型特征。

接下來(lái)，需要了解如何解這一類題型。

方法一：圖示法。

適用范圍：所有二集合容斥的題目。

步驟：根據(jù)圖形各區(qū)域面積之和等于總面積構(gòu)建等式。

重點(diǎn)：標(biāo)記順序從中心到兩邊，有數(shù)寫(xiě)數(shù)無(wú)數(shù)標(biāo)記。

缺點(diǎn)：由于需要畫(huà)圖，耗時(shí)比較長(zhǎng)。

接下來(lái)我們使用圖示法來(lái)解一道題目。

【例2】(2018廣州)籃子里有蘋(píng)果和梨子兩種水果若干個(gè)，將這些水果分發(fā)給13人，每人最少拿一個(gè)，最多拿兩個(gè)不同的水果。已知有9個(gè)人拿到了蘋(píng)果，有8人拿到了梨，最后全部分完。那么，有( )人只拿到了蘋(píng)果。

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

【答案】D

【解析】

第一步，本題考查二集合容斥問(wèn)題，可以使用圖示法解題。

第二步，將拿蘋(píng)果的人數(shù)視為集合A，拿梨的人數(shù)視為集合B，使用圖示法可得：

第三步，解方程：9-x+x+8-x=13，可得x=4，而問(wèn)的是只拿了蘋(píng)果的人數(shù)，所以答案=9-x=5。

因此，選擇B選項(xiàng)。

方法二：公式法。

公式：總?cè)藬?shù)-都不滿足的人數(shù)=A+B-AB

適用范圍：上述5個(gè)量知4求1。

缺點(diǎn)：適用性比圖示法窄。

接下來(lái)我們使用公式法來(lái)解一道題目。

【例1】(2017江西)某鄉(xiāng)有32戶果農(nóng)，其中有26戶種了柚子樹(shù)，有24戶種了橘子樹(shù)，還有5戶既沒(méi)有種柚子樹(shù)也沒(méi)有種橘子樹(shù)，那么該鄉(xiāng)同時(shí)種植柚子樹(shù)和橘子樹(shù)的果農(nóng)有：

A. 23戶

B. 22戶

C. 21戶

D. 24戶

【答案】A

【解析】

第一步，本題考查容斥問(wèn)題，屬于二集合容斥類。

第二步，設(shè)同時(shí)種植柚子樹(shù)和橘子樹(shù)的果農(nóng)有x戶，根據(jù)二集合容斥公式，可得32-5=26+24-x，解得x=23。

因此，選擇A選項(xiàng)。

以上就是解決二集合容斥問(wèn)題的方法介紹，活用圖示法和公式法，可以讓我們?cè)诳紙?chǎng)上更快更準(zhǔn)地求出二集合容斥問(wèn)題的答案。

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