最值問題對于初學(xué)者來說比較難，對于一些題目不知如何下手。但是只要我們掌握相應(yīng)的解題技巧，這類的題目也就迎刃而解。下面我們就最值問題中的一種�？碱}型-數(shù)列構(gòu)造講解一下。數(shù)列構(gòu)造的題型特征是問法中出現(xiàn)“最多的最少、最多的最多、最少的最少、最少的最多、排名第幾的最多或最少”。解題方法分為三步走：定位-構(gòu)造-求和。具體識別題目和運(yùn)用，我們先看一個(gè)例子：

有25個(gè)蘋果，5個(gè)小朋友分，每人至少1個(gè)，每人分的個(gè)數(shù)各不相同

假設(shè)5個(gè)小朋友排成一排，從左至右分的個(gè)數(shù)依次減少。

①最多的人最多分幾個(gè)?

第一步定位：第1個(gè)小朋友分的最多

第二步構(gòu)造：因總數(shù)是一定的，要想最多的人分的最多，則其他小朋友要分的盡可能少，又因?yàn)楦鞑幌嗤�，則從后面構(gòu)造：第5個(gè)小朋友分1個(gè)、第4個(gè)小朋友分2個(gè)、第3個(gè)小朋友分3個(gè)、第2個(gè)小朋友分4個(gè)

第三步求和：X+4+3+2+1=25，求得X=15個(gè)。

②最多的人最少分幾個(gè)?

最少X個(gè) X-1 X-2 X-3 X-4

第一步定位：第1個(gè)小朋友分的最少

第二步構(gòu)造：因總數(shù)是一定的，要想最多的人分的最少，則其他小朋友要分的盡可能多，又因?yàn)楦鞑幌嗤�，則第2個(gè)小朋友最多分X-1個(gè)、第3個(gè)小朋友最多分X-2個(gè)、第4個(gè)小朋友最多分X-3個(gè)、第5個(gè)小朋友最多分X-4個(gè)

第三步求和：X+X-1+X-2+X-3+X-4=5X-10=25，求得X=7個(gè)

③最少的人最多分幾個(gè)?

X+4 X+3 X+2 X+1 最多X個(gè)

第一步定位：第5個(gè)小朋友分的最多

第二步構(gòu)造：因總數(shù)是一定的，要想最少的人分的最多，則其他小朋友要分的盡可能少，又因?yàn)楦鞑幌嗤�，則第4個(gè)小朋友最少分X+1個(gè)、第3個(gè)小朋友最少分X+2個(gè)、第4個(gè)小朋友最少分X+3個(gè)、第5個(gè)小朋友最少分X+4個(gè)

第三步求和：X+X+1+X+2+X+3+X+4=5X+10=25，求得X=3個(gè)

④第二多的人最多分幾個(gè)?

X+1 X 3 2 1

第一步定位：第2個(gè)小朋友分的最多

第二步構(gòu)造：因總數(shù)是一定的，要想第二多的人分的最多，則其他小朋友要分的盡可能少，又因?yàn)楦鞑幌嗤�，則第1個(gè)小朋友最少分X+1個(gè)、第5個(gè)小朋友最少分1個(gè)、第4個(gè)小朋友最少分2個(gè)、第5個(gè)小朋友最少分3個(gè)

第三步求和：X+1+X+3+2+1=2X+7=25，求得X=9個(gè)

經(jīng)過上面四種不同的問法和解析，大家應(yīng)該會(huì)對數(shù)列構(gòu)造有一定的認(rèn)識。接下來讓我們暢游在真題的海洋中。

單側(cè)構(gòu)造：

【例1】現(xiàn)有21本故事書要分給5個(gè)人閱讀，如果每個(gè)人得到的數(shù)量均不相同，那么得到故事書數(shù)量最多的人至少可以得到( )本。

A. 5 B. 7

C. 9 D. 11

【答案】B

【解析】

第一步，本題考查最值問題，屬于數(shù)列構(gòu)造。

第二步，在總數(shù)一定的條件下，要使得到故事書數(shù)量最多的人本數(shù)最少，那么其他人得到的要盡可能多。設(shè)得到故事書數(shù)量最多的人可以得到x本，且每個(gè)人得到的數(shù)量均不相同，則其余4人得到的故事書數(shù)量依次為(x-1)、(x-2)、(x-3)、(x-4)本。

第三步，根據(jù)題意可得x+(x-1)+(x-2)+(x-3)+(x-4)=21，解得x=6.2。所以最多的人至少可以得到7本。

因此，選擇B選項(xiàng)。

大家可以發(fā)現(xiàn)此題最終解出的數(shù)值有小數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)這種情況時(shí)，我們應(yīng)該問少取大，問多取小。也就是說當(dāng)題目問法問的是最少的時(shí)候，當(dāng)出現(xiàn)小數(shù)時(shí)，我們往上取整;當(dāng)題目問法問的是最多的時(shí)候，當(dāng)出現(xiàn)小數(shù)時(shí)，我們往下取整。

雙側(cè)構(gòu)造：

【例2】從某物流園區(qū)開出6輛貨車，這6輛貨車的平均裝貨量為62噸，已知每輛貨車載重量各不相同且均為整數(shù)，最重的裝載了71噸，最輕的裝載了54噸。問這6輛貨車中裝貨第三重的卡車至少裝載了多少噸?

A. 59 B. 60

C. 61 D. 62

【答案】B

【解析】

第一步，本題考查最值問題，屬于數(shù)列構(gòu)造。

第二步，總和一定，求某項(xiàng)最值，使用數(shù)列構(gòu)造的方法。首先，根據(jù)題意將6輛貨車的載重量從大到小排序則第一重的為71噸，最輕的為54噸，求第三重的卡車至少載重多少，則其余貨車載重盡量多，設(shè)第三重的卡車至少載重x噸，那么構(gòu)造排名第二至第五的載重依次為：70，x，x-1，x-2�？闪蟹匠蹋�71+70+x+(x-1)+(x-2)+54=62×6，解得x=60。

因此，選擇B選項(xiàng)。

通過這兩個(gè)例子，同學(xué)們應(yīng)該對數(shù)列構(gòu)造類的最值問題有一定的了解，希望大家把上面的例題好好思考一下，做到融會(huì)貫通，此類題目就會(huì)舉一反三。

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