提到容斥 問題 ，大家腦海中是不是出現(xiàn)了“集合”、“畫圖”的畫面，沒錯， 對于容斥問題 最直觀的解決方法的確是找到集合之間的關(guān)系，然后畫圖來解決問題。但是，今天小 編老師 給大家介紹 幾種 更為簡便的公式法，一 招直接解決容斥 問題�？炷贸龉P記本記下來啊!

介紹容斥問題 之前，大家可以思考個問題， 什么是容斥原理呢?

所謂容斥原理，就是 在計數(shù)的時候，找到 集合 重復的部分并且剔除 掉 的過程 ， 使 最終 計 數(shù) 的結(jié)果既無遺漏又無重復。

先給大家介紹下兩個集合的容斥原理：

舉個小例子：兩個集合 A 、 B 分別代表班級中參加籃球小組和足球小組的人數(shù)，現(xiàn)在想知道班級中參加籃球和足球小組共有多少人?

通過畫圖可推出二 集合容斥公式 為： A+B-AB= 總數(shù) - 兩者都不滿足數(shù) ，在解題時直接用公式計算，這樣就會節(jié)省每道題畫圖的時間。 大家一起來練習 一 道題：

【例 1 】某班學生總數(shù)為 32 人，第一次參加文娛晚會的有 26 人，第二次參加文娛晚會的有 24 人。若兩次文娛晚會中都沒有參加的學生有 4 人，則兩次都參加文娛晚會的有多少人?

A. 22 B. 18

C. 30 D. 20

【思路點撥】 題干中分成參加兩次文娛活動晚會的兩個集合， 問的是交叉集合的人數(shù)，可以 判定 是容斥問題 。 學生總數(shù)為 32 人，第一次參加有 26 人、第二次參加有 24 人、兩次都沒參加的學生有 4 人，設兩次都參加的人數(shù)為 x ，代入二 集合 容斥 公式 26 + 24 - x = 32 - 4 ，解得 x = 22 (人) 。 因此，選擇 A 選項 。本題較為簡單，直接套用公式即可，那接下來給大家介紹三 集合容斥公式 。

舉個小例子：三個集合 A 、 B 、 C 分別代表班級中參加籃球小組、足球小組和羽毛球小組的人數(shù)，現(xiàn)在想知道班級中參加三個小組共有多少人?

通過畫圖可推出三 集合容斥公式 為： A+B+C-AC-BC-AB+ABC= 總數(shù) - 三者都不滿足數(shù)

大家要注意的是， 三集合和二集合不同點在于，中間 A BC 代表著同時參加三個小組的人數(shù)， 因為在減掉 A C 、 B C 、 A B 三個集合時，中間部分減掉了三次，所以 最終要加上同時參加的人數(shù)， 一定 不 能 忘記 哦 。 再看 一 道例題：

【例2】 某單位共有 240 名員工，其中訂閱 A 期刊的有 125 人，訂閱 B 期刊的有 126 人，訂閱 C 期刊的有 135 人，訂閱 A 、 B 期刊的有 57 人，訂閱 A 、 C 期刊的有 73 人，訂閱 3 種期刊的有 31 人，此外，還有 17 人沒有訂閱這三種期刊中的任何一種。問訂閱 B 、 C 期刊的有多少人?

A. 57 B. 64

C. 69 D. 78

【思路點撥】 題干中訂購 A 、 B 、 C 三種期刊，也就意味著三個集合，即 本題考查 三集合 容斥原理。應用三集合標準型容斥原理公式解題。設訂閱 B 、 C 期刊的有 x 人， 代入三集合公式， 可列方程： 125 + 126 + 135 - 57 - 73 - x + 31 = 240 - 17 ，解得 x = 64 。因此，選擇 B 選項。

在考試中 遇到容斥問題 ， 只要能夠識別出題目是考查 集合容斥問題 ，直接用公式解題就會很簡單，希望今天的分享能夠幫助到大家，大家要繼續(xù)加油努力 吖 !

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